In dit artikel behandelen we het Black-Scholes model uitgebreid, waarbij we kijken naar de aannames en de waarderingen op basis van de formule. Bent u op zoek naar een broker om opties te handelen, klik dan hier.
Black-Scholes model
De term Black and Scholes verwijst naar drie concepten binnen de financiële wiskunde. We onderscheiden het Black-Scholes model, de Black-Scholes partiële differentiaalvergelijking en de daaruit afgeleide Black-Scholes formule. Deze concepten werden ontwikkeld in 1973 door de wetenschappers Fischer Black en Myron Scholes.
Het Black-Scholes model is een wiskundig model voor de financiële markt die derivaten bevat. Uit de parabolische partiële differentiaalvergelijking in het model, bekend als de Black-Scholes-vergelijking, kan men de Black-Scholes formule afleiden. Met deze formule kan een theoretische schatting worden gegeven van de prijs van Europese-stijl opties. Dit model toont bovendien aan dat de optie een unieke prijs heeft, gegeven het risico van het effect en het verwachte rendement ervan.
Het komt er in het kort op neer dat bovengenoemde personen een formule hebben ontwikkeld waarmee optieprijzen berekend kunnen worden. Later is het model nog verder ontwikkeld door Merton, waardoor men het soms ook heeft over het Black-Scholes-Merton (BSM) model. Myron Scholes ontving voor hun werk in 1997 de Nobelprijs voor de Economie, maar Black was toen echter al overleden.
Aannames black-scholes model
Het Black-Scholes-model gaat ervan uit dat de markt bestaat uit tenminste één risicovolle asset, meestal een aandeel. Daarnaast bestaat de markt ook uit één risicoloze asset, bijvoorbeeld cash of een staatsobligatie.
Vervolgens worden de volgende aannames gedaan voor de risicovolle asset:
- Het effect vertoont een stochastisch proces. Dat wil zeggen dat het effect moet voldoen aan de random-walk theorie. Specifieker: de geometric brownian motion (GBM).
- Het effect in kwestie keert geen dividenden uit.
- Het derivaat in kwestie is Europees, dat wil zeggen dat er slechts één moment is waarop een uitbetaling (afwikkeling) kan plaatsvinden.
Voor de ‘risicovrije’ asset (cash of staatsobligatie) nemen we het volgende aan:
- Er kan geld geleend en uitgeleend worden tegen een gelijke continue samengestelde rentevoet, welke constant blijft in de tijd.
- We kunnen voor elk bedrag aandelen kopen en verkopen zonder handelskosten.
- Mogelijkheid tot het lenen en uitlenen van elk bedrag, zelfs fractioneel, van contant geld tegen de risicoloze vergoeding.
- De markt kent geen arbitrage mogelijkheden.
Met bovenstaand model toonden Black en Scholes aan dat het voor Europese call en put opties mogelijk is om een afgedekte positie te creëren. Deze hedge bestaat uit een long positie in het aandeel en een short positie in de optie, waarvan de waarde niet zal afhangen van de prijs van het aandeel.
Hun dynamische afdekkingsstrategie leidde tot een partiële differentiaalvergelijking die de prijs van de optie bepaalde. De Black-Scholes formule is afgeleid uit deze vergelijking.
Waardering van opties met de Black-Scholes formule
De prijzen van opties worden dus bepaald met behulp van de Black-Scholes formule. De formule maakt gebruik van aandelenkoersen, strike prijzen van opties, tijd, volatiliteit en verwachte rentetarieven. Enkel de verwachte volatiliteit kan niet rechtstreeks op de markt worden waargenomen. Deze wordt doorgaans afgeleid uit de prijs van andere opties. Hieronder zullen we de formule kort toelichten.
- C = call price (prijs van de call)
- N = cumulative distribution function of the normal distribution (cumulatieve verdelingsfunctie van de normale verdeling)
- St = spot price of the asset (huidige prijs)
- K = strike price (uitoefenprijs)
- r = risk-free interest rate (risicovrije rentevoet)
- t = time to expiration (tijd tot expiratie)
- σ = volatility of the asset (volatiliteit van de onderliggende waarde)
Wat hebben optiebeleggers aan het Black-Scholes model?
De waardering van opties is vandaag de dag elektronisch geregeld. Optieprijzen in uw scherm zijn geprijsd volgens het Black-Scholes model. Slimme computers berekenen constant de waarde van opties, gebaseerd op diverse variabelen. Dit heeft de optiehandel transparant en toegankelijk gemaakt voor de particuliere belegger.
Het kernidee achter het model is om opties af te dekken (hedgen) door de onderliggende waarde in precies de juiste hoeveelheden te kopen en te verkopen, en zo het risico te elimineren. Dit type afdekking wordt “continuously revised delta hedging” genoemd en vormt de basis van meer ingewikkelde afdekkingsstrategieën. Deze strategieën zijn zeer complex en worden doorgaans toegepast door grote investeringsbanken en hedgefondsen.
Handelen in opties o.b.v. het Black-Scholes model via LYNX
Via LYNX kunt u zeer voordelig handelen in opties. Met één simpele muisklik handelt u eenvoudig in alle Europese en Amerikaanse aandelenopties en indexopties. Tevens heeft u de beschikking over de beste trader tools, zoals de OptieTrader, en kunt u optiecombinaties in zijn geheel naar de beurs versturen.
